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不等式⑫
12.［IMO 1983］
a,b,cを三角形の三辺としたとき、
Σa^2b(a-b)≧0
を示せ
難易度:★★★☆☆
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【テクニック】
・特殊な変数変換
・SOSフォーム
・シューアの不等式
【解法の流れ】
x=(-a+b+c)/2,...と変数変換し整理すると、
(Σxy^3)-(Σx^2yz)≧0
となる。左辺をSOSフォームで表そうと努力すると、
Σxy(y-z)^2
となり、確かに成り立つ。
(別解)変数変換せずとも、b＞a-cなどを使えば、γ=2の場合の次元版シューアの不等式に変形出来る。
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不等式⑪
11.［USAJMO］
a,b,c＞0のとき、
Σ(a^3+3b^3)/(5a+b)≧2/3・(a^2+b^2+c^2)
を示せ
難易度:★★☆☆☆
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【テクニック】
・Tituの不等式
【解法の流れ】
Tituの不等式を使えば素直に解ける
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不等式⑩
10.［出典不明］
a,b,c＞0,a+b+c=1のとき、
Σ(1+a)/(1-a)≦2Σb/a
を示せ
難易度:★★☆☆☆
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【テクニック】
・斉次化
・Bunching(Muirheadの不等式)
・AM-GM不等式
【解法の流れ】
斉次化して分母を払って、Muirheadの不等式とAM-GM不等式で示せる
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不等式⑨
9.［IMO 2000(韓国大会) 問2］
a,b,c＞0,abc=1のとき、
Π(a-1+1/b)≦1
を示せ
難易度:★★☆☆☆
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【テクニック】
・特殊な変数変換
・シューアの不等式
【解法の流れ】
a=x/y,b=y/z,c=z/xと変数変換して、整理するとシューアの不等式になる。
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不等式⑧
8.［出典不明］
a,b,c＞0のとき、
(Σa/(7a+b+c))+(4(a^2+b^2+c^2))/(27(ab+bc+ca))≧13/27
を示せ
難易度:★★★☆☆
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【テクニック】
・Bunching(Muirheadの不等式)
【解法の流れ】
分母払って(計算量は中々)、Muirheadの不等式で簡単に示せる(Bunching)。
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不等式⑦
7.［出典不明］
a,b,c＞0のとき、
Σ(a/(2a+b))≦1
を示せ
難易度:★★★☆☆
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【テクニック】
・Tituの不等式(コーシーシュワルツ)
【解法の流れ】
(定数)-Σの形に変形して、Tituの不等式を適用する
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不等式⑥
6.［出典不明］
a,b,c＞0のとき、
Σ(a^2/(b+c))≧((a+b+c)(a^2+b^2+c^2))/(2(ab+bc+ca))
を示せ
難易度:★★★☆☆
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【テクニック】
・Bunching(Muirheadの不等式)
【解法の流れ】
分母払って、Muirheadの不等式で簡単に示せる(Bunching)
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不等式⑤
5.［出典不明］
a,b,c＞0,a+b+c=1のとき、
Σ(a^3・(a+1))/(a+bc)≧1/3
を示せ
難易度:★★★☆☆
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【テクニック】
・斉次化
・Bunching(Muirheadの不等式)
【解法の流れ】
条件を使い、分母を2次、分子を4次、右辺を2次に斉次化し、分母を払う(計算量は中々)。整理した後の不等式は、Muirheadの不等式で簡単に示せる(Bunching)。
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不等式④
4.［JBMO 2011 Shortlist］
x,y,z＞0のとき、
6/7＜Σ((x+2y)/(z+2x+3y))≦3/2
を示せ
難易度:★★☆☆☆
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【テクニック】
・AM-GM不等式
・(別解)Tituの不等式
【解法の流れ】
分母払ったら(計算量は多くない)、左不等式は明らか。右不等式は、AM-GM不等式で簡単に示せる。
【別解】
Σ(1/(z+2x+3y))≧3/(2(x+y+z))と変形出来る。これは、Tituの不等式から明らかである。
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不等式③
3.［出典不明］
a,b,c＞0のとき、
Σ((3a+b+c)^2/(2a^2+(b+c)^2))≦25/2
を示せ
難易度:★★★★☆
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【テクニック】
・AM-GM不等式
【解法の流れ】
分母を払ったら(大量の計算が必要)、割と余裕を持ってAM-GM不等式で評価出来る。計算間違いがない事を祈ろう。
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不等式②
2.［JBMO 2008 Shortlist］
a,b,c＞0,abc=1のとき、
Π(ab+bc+1/(ca))≧Π(1+2a)
を示せ
難易度:★★☆☆☆
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【テクニック】
・特殊な変数変換
・AM-GM不等式
【解法の流れ】
a=x/y,b=y/z,c=z/xと変数変換して、両辺にx^2y^2z^2を掛ける。整理した結果の不等式は、AM-GM不等式で簡単に示せる。
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不等式①
1.［JBMO 2016 Shortlist］
a,b,c＞0,abc=8のとき、
Σ((ab+4)/(a+2))≧6
を示せ
難易度:★★☆☆☆
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【テクニック】
・特殊な変数変換
・重み付きAM-GM不等式
【解法の流れ】
a=2x/y,b=2y/z,c=2z/xと変数変換して分母を払うと、
Σ(x^3y^3)≧Σ(x^3y^2z)
に帰着される。これを重み付きAM-GM不等式で示す。
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不等式について
現在持っている不等式の攻め方は、
①重み付きAM-GM不等式
②Bunching(Muirheadの不等式)
③シューアの不等式
④斉次化
⑤コーシーシュワルツの不等式
⑥Tituの不等式(シュワルツのEngel form)
⑥'Tituの不等式(上から評価、Cauchy Reverse Technique)
⑦ヘルダーの不等式
⑧並べ替え不等式
⑨Jensenの不等式(凸不等式)
⑩項ごとの評価(isolated fudging)
⑪特殊な変数変換
⑫SOS technique
⑬uvw法
くらいである。Bunchingで攻める事が多い。
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